【题目】在数列{an}中,a1=1,a2= ,且an+1=
(n≥2)
(1)求a3 , a4;
(2)猜想an的表达式,并加以证明.
【答案】
(1)解:由数列{an},a1=1,a2= ,且an+1=
(n≥2).
令n=2,则a3= =
=
;
令n=3,则 =
(2)解:由(1)可猜想 .
下面利用数学归纳法加以证明:
①当n=1,2,3,4时,由(1)和已知经验证可知:结论成立;
②假设当n=k(k≥4)时,结论也成立,即 ;
那么当n=k+1时,由题设与归纳假设可知: =
=
.
即当n=k+1时,结论也成立.
综上,对n∈N*, 成立.
【解析】
【考点精析】解答此题的关键在于理解归纳推理的相关知识,掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,以及对数学归纳法的定义的理解,了解数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.
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【题目】已知抛物线y2=4x,点M(1,0)关于y轴的对称点为N,直线l过点M交抛物线于A,B两点.
(1)证明:直线NA,NB的斜率互为相反数;
(2)求△ANB面积的最小值;
(3)当点M的坐标为(m,0),(m>0且m≠1).根据(1)(2)推测:△ABC面积的最小值是多少?(不必说明理由)
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【题目】已知函数f(x)=ln(1+x)﹣ . (Ⅰ)若a=2,求f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)若f(x)≥0对x∈(﹣1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】下列命题中正确的有 . (填上所有正确命题的序号) ①一质点在直线上以速度v=3t2﹣2t﹣1(m/s)运动,从时刻t=0(s)到t=3(s)时质点运动的路程为15(m);
②若x∈(0,π),则sinx<x;
③若f′(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0取得极值;
④已知函数 ,则
.
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【题目】如图,在四棱锥中,
,
平面
,
.
(1)设点为
的中点,求证:
平面
;
(2)线段上是否存在一点
,使得直线
与平面
所成的角
的正弦值为
?若存在,试确定点
的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知O点为坐标原点,且点A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ)
(1)若 ,求tanθ的值;
(2)若 =1,求sinθcosθ的值.
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【题目】已知函数f(x)=sinωx+λcosωx,其图象的一个对称中心到最近的一条对称轴的距离为 ,且在x=
处取得最大值.
(1)求λ的值.
(2)设 在区间
上是增函数,求a的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的倾斜角为
且经过点
,以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,与直角坐标系
取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线
的极坐标方程为
.
(1)若直线与曲线
有公共点,求
的取值范围;
(2)设为曲线
上任意一点,求
的取值范围.
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