Question

【题目】如图，在四棱锥中， ， 平面， .

(1)设点为的中点，求证： 平面；

(2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）为中点

【解析】试题分析：（1）先取的中点，利用三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得平面.根据计算，利用平几知识得，再根据线面平行判定定理得平面.从而利用面面平行判定定理得平面平面.最后根据面面平行性质得平面. （2）一般利用空间直角坐标系研究线面角，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求出平面法向量，根据向量数量积求出向量夹角，最后利用线面角与向量夹角关系列方程，解出点坐标，确定其位置.

试题解析：(1)证明　取的中点，连接，则.

因为平面， 平面，所以平面.

在中， ，所以.

而，所以.

因为平面， 平面，

所以平面.

又因为，

所以平面平面.

因为平面，

所以平面.

（注：（1）问也可建系来证明）

(2)过作，交于，又平面知以为原点， 分别为轴建系如图：

则

设平面PAC的法向量，

由有取

设，则，

∴

∴

∴,∴．

∴线段上存在一点， 为中点