Question

【题目】已知抛物线y2=4x，点M（1，0）关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于A，B两点．
（1）证明：直线NA，NB的斜率互为相反数；
（2）求△ANB面积的最小值；
（3）当点M的坐标为（m，0），（m＞0且m≠1）．根据（1）（2）推测：△ABC面积的最小值是多少？（不必说明理由）

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），

由 ，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ．

即有（y1y2）2=16x1x2=16，

可得y1y2=﹣4，N（﹣1，0），

kNA+kNB= + = + =

= =0．

又当l垂直于x轴时，点A，B关于x轴，显然kNA+kNB=0，即kNA=﹣kNB．

综上，直线NA，NB的斜率互为相反数

（2）解：S△ABN= |MN||y1﹣y2|=|y1﹣y2|

= = = ．

当l垂直于x轴时，S△NAB=4，即有△ABN面积的最小值等于4

（3）解：推测：△ANB面积的最小值为4m
【解析】（1）设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点满足抛物线的方程，化简整理，讨论直线l的斜率不存在，即可得证；（2）求得S△ABN= |MN||y1﹣y2|，代入韦达定理，由不等式的性质可得△ANB面积大于4；讨论直线的斜率不存在时，面积为4，即可得到最小值；（3）由（1），（2）推测：△ANB面积的最小值为4m ．