Question

设P：关于x的不等式2^|x|＜a的解集为∅，Q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R，如果P和Q有且仅有一个正确，则a的取值区间是

 

．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：求出命题P，Q为真命题的等价条件，然后根据复合命题之间的关系即可得到结论．

解答： 解：∵2^|x|≥1，∴若2^|x|＜a的解集为∅，则a≤1，即P：a≤1，
若函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R，
则ax²-x+a＞0恒成立，
若a=0，不等式等价为-x＞0，不满足条件，
若a≠0，则满足

a＞0 △=1-4a2＜0

，即

a＞0 a2＞ 1 4

，解得a＞

1

2

，即Q：a＞

1

2

，
∵P和Q有且仅有一个正确，
∴若P真，Q假，则

a≤1 a≤ 1 2

，得a≤

1

2

．
若P假，Q真，则

a＞1 a＞ 1 2

，得a＞1．
综上a≤

1

2

或a＞1，
故答案为：（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）

点评：本题主要考查复合命题的应用，根据条件求出命题P，Q为真命题的等价条件是解决本题的关键．