Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，直线l分别经过椭圆长轴和短轴的一个顶点，且与圆C：x²+y²=

2

3

相切，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）P为圆C上任意一点，以P为切点作圆C的切线与椭圆E相交于点M，N，求线段|MN|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a²=2b²，

ab

a2+b2

=

6

3

，由此能求出椭圆E方程．
（Ⅱ）设圆C的切线方程为y=kx+m，则3m²=2-2k²，联立

y=kx-m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²-4kmx+2m²-2=0，由此能求出线段|MN|的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，
∴a²=2b²，
不妨设l：

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
则

ab

a2+b2

=

6

3

，
解得a=

2

，b=1，
∴椭圆E方程为：

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设圆C的切线方程为y=kx+m，
∴

m

1-k2

=

6

3

，整理，得3m²=2-2k²，
联立

y=kx-m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²-4kmx+2m²-2=0，
△＞0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

，
∴|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

8+16k2-8m2

1+2k2

=

1+k2

•

8+32k2 3

1+2k2

，
令1+2k²=t≥1，
则|MN|²=

t+1 2 • 16t-8 3

t2

=

4

3

•

2t2+t-1

t2

=

4

3

[-(

1

t

)2+(

1

t

)+2]，
又0＜

1

t

≤1，∴当

1

t

=

1

2

时，
即k2=

1

2

时，|MN|_max=

3

．

1

t

＞0时，|MN|＞

2 6

3

，
∴线段|MN|的取值范围是（

2 6

3

，

3

]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段长的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．