Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A₁B=2．
（Ⅰ）证明：平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（Ⅱ）若点P为B₁C₁的中点，求三棱锥P-ABC与四棱锥P-AA₁B₁A₁的体积之比．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）由已知可得A₁B⊥面ABC，进而A₁B⊥AC，结合AB⊥AC和线面垂直的判定定理可得AC⊥面AB₁B，再由面面垂直的判定定理得到平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（Ⅱ）若点P为B₁C₁的中点，点P到平面AA₁B₁B距离h₂等于点C₁到平面AA₁B₁B的距离的一半，求出底面积，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答： 证明：（Ⅰ）∵顶点A₁在底面ABC上的射影恰为点B，
∴A₁B⊥面ABC，
又∵AC?面ABC，
∴A₁B⊥AC，------（2分）
又AB⊥AC，AB∩A₁B=B，AB，A₁B?面AB₁B，
∴AC⊥面AB₁B，------（3分）
∵AC?面A₁AC，
∴平面A₁AC⊥平面AB₁B；------（5分）
（Ⅱ）在三棱锥P-ABC中，因为AB⊥AC，
所以底面ABC是等腰直角三角形，
又因为点P到底面的距离h=A₁B=2，
所以VP-ABC=

1

3

S△ABC•h=

1

3

•

1

2

AC•AB•h=

4

3

．------（6分）
由（Ⅰ）可知AC⊥面AB₁B，
因为点P在B₁C₁的中点，
所以点P到平面AA₁B₁B距离h₂等于点C₁到平面AA₁B₁B的距离的一半，即h₂=1．------（8分）
VP-AA1B1B=

1

3

S四边形AA1B1B•h2=

1

3

AB•A1B•h2=

1

3

•2•2•1=

4

3

，------（10分）
所以三棱锥P-ABC与四棱锥P-AA₁B₁A₁的体积之比为1：1．------（12分）

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定与性质，难度中档．