Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点Q（1，-

2

2

），且离心率e=

2

2

，直线l与∑相交于M、N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）判断是否存在直线l，满足2

OC

=

OM

+

OD

  2

OD

=

ON

+

OC

，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）把点的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率及隐含条件列方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）把给出的向量等式变形，得到C、D为M、N的三等分点，设出直线l的方程y=kx+m（k≠0），和椭圆方程联立，利用四个点坐标间的关系求得k，代入关于x的方程后求得M的坐标，再由中点坐标公式列式求得m的值，则直线方程可求．

解答： 解：（1）由已知得：

1 a2 + 1 2b2 =1 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得：a²=2，b²=1．
∴椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）如图，
假设存在直线l：y=kx+m（k≠0）交椭圆于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，交x轴于C（c，0），交y轴于D（0，d），
由2

OC

=

OM

+

OD

，2

OD

=

ON

+

OC

，得

MC

=

CD

，

ND

=

DC

，
即C、D为线段MN的三等分点．
由y=kx+m，取y=0，得c=-

m

k

，即C（-

m

k

，0），
取x=0，得d=m，即D（0，m）．
联立

y=kx+m x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0  ①．
∴x1+x2=-

4km

1+2k2

，
若C、D为线段MN的三等分点，则-

4km

1+2k2

=-

m

k

，解得：k2=

1

2

，k=±

2

2

．
当k=

2

2

时，方程①化为2x2+2

2

mx+2m2-2=0．
解得：x1=

- 2 m- 4-2m2

2

，x2=

- 2 m+ 4-2m2

2

．
由

- 2 m- 4-2m2

2

=-2

m

2 2

，解得：m=±

5

5

．
同理求得当k=

2

2

时，m=±

5

5

．
∴满足条件的直线l存在，方程为：y=±

2

2

+

5

5

或y=±

2

2

x-

5

5

．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用平面向量求解与圆锥曲线有关的问题，考查了数学转化思想方法，是压轴题．