Question

4．已知函数f（x）=x²+2x．
（1）若x∈[-2，a]，a＞-2时，求f（x）的值域．
（2）若存在实数t，当x∈[1，m]，m＞1时，f（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求f（x）的对称轴，x=-1，f（-2）=f（0），从而可讨论a：-2＜a≤-1，-1＜a≤0，a＞0，根据二次函数的单调性及顶点情况求出每种情况下f（x）的最值，从而求出每种情况下f（x）的值域；
（2）首先由f（x+t）≤3x恒成立得到x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立，设u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，从而可以得到$\left\{\begin{array}{l}{u（1）≤0}\\{u（m）≤0}\end{array}\right.$，进一步可得到$\left\{\begin{array}{l}{-4≤t≤0}\\{{t}^{2}+2（1+m）t+{m}^{2}-m≤0}\end{array}\right.$，可设g（t）=t²+2（1+m）t+m²-m，从而可将原题转化为存在t∈[-4，0]，使得g（t）_min≤0成立．g（t）的对称轴x=-1-m，并可判断-1-m＜-2，从而讨论对称轴-1-m＜-4，-4≤-1-m＜-2，求出每种情况下g（t）的最小值，根据g（t）_min≤0即可求出每种情况下m的取值范围，然后对这两种情况求得的m的取值范围求并集即可得出实数m的取值范围．

解答 解：（1）二次函数f（x）的对称轴为x=-1；
∴①-2＜a≤-1时，f（x）在[-2，a]上单调递减；
∴此时f（x）的值域为[f（a），f（-2）]=[a²+2a，0]；
②-1＜a≤0时，f（x）的值域为[f（-1），f（-2）]=[-1，0]；
③a＞0时，f（x）的值域为[f（-1），f（a）]=[-1，a²+2a]；
（2）由f（x+t）≤3x恒成立得：x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立；
设u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，x∈[1，m]；
∵u（x）的开口向上；
∴u（x）的最大值为max{u（1），u（m）}；
∴由u（x）≤0恒成立知$\left\{\begin{array}{l}{u（1）={t}^{2}+4t≤0}\\{u（m）={t}^{2}+2（1+m）t+{m}^{2}-m≤0}\end{array}\right.$；
解t²+4t≤0得-4≤t≤0；
设g（t）=t²+2（1+m）t+m²-m；
∴原题可转化为存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0；
即当t∈[-4，0]时，g（t）_min≤0；
∵m＞1，∴g（t）的对称轴x=-1-m＜-2；
①若-1-m＜-4，即m＞3时，$g（t）_{min}=g（-4）=16-8（1+m）+{m}^{2}-m≤0$；
解得1≤m≤8；
∴3＜m≤8；
②若-4≤-1-m＜-2，即1＜m≤3时，g（t）_min=g（-1-m）=-3m-1≤0；
解得$m≥-\frac{1}{3}$；
∴1＜m≤3；
综上得m的取值范围为（1，8]．

点评 考查二次函数的对称轴和二次函数单调性的关系，根据二次函数的单调性及取得顶点情况求二次函数在闭区间上的值域的方法，二次函数的开口方向和二次函数在闭区间上最大值的关系，正确求解一元二次不等式．