Question

16．已知椭圆C的两个焦点是$（{0，-\sqrt{3}}）$和$（{0，\sqrt{3}}）$，并且经过点（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点A₂．
（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）过点A₂作两条斜率都存在且互相垂直的直线l₁、l₂；l₁交抛物线E于点A、B，l₂交抛物线E于点G、H，其中l₁的斜率为1，求$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$的值．

Answer 1

分析 （I）设椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，求出a，即可得出椭圆的方程，从而可得右顶点F的坐标，即可求出抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）设l₁的方程：y=k（x-1），l₂的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-1），与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求出$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$的最小值．

解答 解：（I）设椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），焦距为2c，
则由题意得 c=$\sqrt{3}$，2a=$\sqrt{\frac{3}{4}+（1+\sqrt{3}）^{2}}+\sqrt{\frac{3}{4}+（1-\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∴a=2，b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$．   …（4分）
∴右顶点F的坐标为（1，0）．
设抛物线E的标准方程为y²=2px（p＞0），
∴$\frac{p}{2}=1$，
∴p=2
∴抛物线E的标准方程为y²=4x． …（6分）
（Ⅱ）设l₁的方程：y=k（x-1），l₂的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），
由y=k（x-1），代入抛物线方程消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
由y=-$\frac{1}{k}$（x-1），代入抛物线方程消去y得：x²-（4k²+2）x+1=0，
∴x₃+x₄=4k²+2，x₃x₄=1，…（9分）
∴$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$=（$\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{FG}$）•（$\overrightarrow{HF}$+$\overrightarrow{FB}$）
=|$\overrightarrow{AF}$||$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FG}$||$\overrightarrow{HF}$|
=|x₁+1|•|x₂+1|+|x₃+1|•|x₄+1|
=（x₁x₂+x₁+x₂+1）+（x₃x₄+x₃+x₄+1）
=8+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²≥8+2$\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}•4{k}^{2}}$=16．
当且仅当$\frac{4}{{k}^{2}}$=4k²，即k=±1时，$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$有最小值16．…（13分）

点评 本题考查椭圆和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．