Question

6．已知等腰三角形顶角的余弦值为$-\frac{7}{25}$，则这个三角形底角的正切值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 设等腰三角形顶角为α，由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角的余弦公式求得cos$\frac{α}{2}$的值，可得sin$\frac{α}{2}$和tan$\frac{α}{2}$的值，从而求得这个三角形底角的正切值为tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{α}{2}$ ）的值．

解答 解：设等腰三角形顶角为α，则这个三角形底角为$\frac{π-α}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{α}{2}$，且cosα=-$\frac{7}{25}$，∴α为钝角．
再根据cosα=-$\frac{7}{25}$=2${cos}^{2}\frac{α}{2}$-1，求得cos$\frac{α}{2}$=$\frac{3}{5}$，∴sin$\frac{α}{2}$=$\frac{4}{5}$，tan$\frac{α}{2}$=$\frac{4}{3}$，
∴这个三角形底角的正切值为tan（$\frac{π}{2}$-$\frac{α}{2}$ ）=cot$\frac{α}{2}$=$\frac{1}{tan\frac{α}{2}}$=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．