Question

16．设点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．
（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？
（2）试求方程x²+2px-q²+4=0有两个实数根的概率．

Answer 1

分析 （1）找出满足题意的所有点，利用古典概型公式解之；
（2）求出满足条件的区域面积，利用面积比求概率．

解答 解：（1）根据题意：点（p，q）构成的区域为以原点为中心边长为6的正方形，如图所示．
点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，
即x、y都是整数的点有6×6=36个，…（2分）
而落在上述区域的为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个点，…（4分）

所以点M（x，y）落在上述区域的概率P₁=$\frac{9}{6×6}=\frac{1}{4}$…（6分）
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；
若方程x²+2px-q²+4=0有两个实数根，
则有△=（2p）²-4（-q²+4）≥0，（没等号扣1分）
可得p²+q²≥4，为如图所示正方形中以原点为圆心，以2为半径的圆以外的区域，其面积为36-4π，…（10分）
∴方程x²+2px-q²+4=0有两个实数根的概率为 P₂=$\frac{36-4π}{36}$=$\frac{9-π}{9}$…（12分）

点评 本题考查了古典概型和几何概型概率求法；关键是明确概率模型．