Question

8．若a，b，c为正实数，求证：$\frac{b+c}{a}，\frac{a+c}{b}，\frac{a+b}{c}$三个数中至少有一个不小于2．

Answer 1

分析 假设$\frac{b+c}{a}，\frac{a+c}{b}，\frac{a+b}{c}$三个数都小于2，因为：a＞0，b＞0，所以$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥2$，同理$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}≥2，\frac{b}{c}+\frac{c}{b}≥2$，相加可$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}≥6$，再结合$\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}＜6$，引出矛盾，即可得出结论．

解答 证明：假设$\frac{b+c}{a}，\frac{a+c}{b}，\frac{a+b}{c}$三个数都小于2…（2分）
因为：a＞0，b＞0，所以$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥2$，
同理$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}≥2，\frac{b}{c}+\frac{c}{b}≥2$
又$\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$，
所以$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}≥6$…（6分）
由题设可知$\frac{b+c}{a}＜2，\frac{a+c}{b}＜2，\frac{a+b}{c}＜2$
所以$\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}＜6$…（10分）
这与$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}≥6$相矛盾，
故假设不成立，
所以$\frac{b+c}{a}，\frac{a+c}{b}，\frac{a+b}{c}$三个数中至少有一个不小于2…（12分）

点评 用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．