Question

5．设向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$．若向量$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则cosθ的最小值等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 设|$\overrightarrow{b}$|=x|$\overrightarrow{a}$|，（x＞0），利用向量垂直以及向量的夹角公式，结合基本不等式进行求解即可得到结论．

解答 解：设|$\overrightarrow{b}$|=x|$\overrightarrow{a}$|，（x＞0），
∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+9{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+9{x}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\sqrt{1+9{x}^{2}}$|$\overrightarrow{a}$|，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{x}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}$=$\sqrt{1+{x}^{2}}$|$\overrightarrow{a}$|，
$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+3${\overrightarrow{b}}^{2}$=|$\overrightarrow{a}$|²+3x²|$\overrightarrow{a}$|²=（1+3x²）|$\overrightarrow{a}$|²，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$$\frac{（1+3{x}^{2}）|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{\sqrt{1+9{x}^{2}}•\sqrt{1+{x}^{2}}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=$\frac{1+3{x}^{2}}{\sqrt{1+10{x}^{2}+9{x}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{1+6{x}^{2}+9{x}^{4}}{1+10{x}^{2}+9{x}^{4}}}$=$\sqrt{\frac{1+10{x}^{2}+9{x}^{4}-4{x}^{2}}{1+10{x}^{2}+9{x}^{4}}}$=$\sqrt{1-\frac{4{x}^{2}}{1+10{x}^{2}+9{x}^{4}}}$
=$\sqrt{1-\frac{4}{\frac{1}{{x}^{2}}+9{x}^{2}+10}}$≥$\sqrt{1-\frac{4}{2\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}•9{x}^{2}}+10}}$=$\sqrt{1-\frac{4}{16}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故cosθ的最小值等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 本题主要考查向量的数量积的应用以及基本不等式求最值，考查学生的运算能力．