Question

3．已知关于x的不等式$|{x-1}|-|{2x-1}|＞{log_{\frac{1}{3}}}a$（其中a＞0）．
（1）当a=3时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=3时，|x-1|-|2x-1|＞-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{（x-1）-（2x-1）＞-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤\frac{1}{2}}\\{1-x-（1-2x）＞-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}＜x＜1}\\{1-x-（2x-1）＞-1}\end{array}\right.$，
解得：-1＜x＜1，
故不等式的解集是（-1，1）；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≥1}\\{2-3x，\frac{1}{2}＜x＜1}\\{x，x≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）∈（-∞，$\frac{1}{2}$]，
∴f（x）的最大值是$\frac{1}{2}$，
∵不等式有解，
∴$\frac{1}{2}$＞${log}_{\frac{1}{3}}$a，解得：a＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分段函数有以及对数的运算，是一道中档题．