Question

13．已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长都等于2，且两两夹角为60°，则对角线BD₁的长度为（　　）

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $2\sqrt{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}+2$

Answer 1

分析 根据平行六面体法则可得：$\overrightarrow{{BD}_{1}}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$，先求出两两向量的夹角，再利用模的计算公式即可得出

解答 解：∵共顶点A的三条棱两两所成的角为60°，
∴∠ABC=120°=∠ABB₁，∠CBB₁=60°，
又各条棱长均为2，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{{BB}_{1}}$=2×2×cos120°=-2，$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{{BB}_{1}}$=2×2×cos60°=2．
∵$\overrightarrow{{BD}_{1}}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{{BD}_{1}}$²=（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+$\overrightarrow{BC}$）²=$\overrightarrow{BA}$²+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$²+$\overrightarrow{BC}$²+2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{{BB}_{1}}$+2 $\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$+2 $\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{{BB}_{1}}$=4+4+4+2×（-2）×2+2×2=8，
∴|$\overrightarrow{{BD}_{1}}$|=2$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握平行六面体法则及模的计算公式是解题的关键