Question

1．点M，N是抛物线E上的两动点，M到点（2，0）的距离比到直线x+3=0的距离少1，点O（M，N与O不重合）是坐标原点，OM⊥ON．
（Ⅰ）求抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点总在直线MN上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）判断E是以点（2，0）为焦点，以x=-2为准线的抛物线，求出抛物线方程即可．
（2）设直线MN的方程为x=my+n，与x轴的交点为（n，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线与抛物线的方程组，通过韦达定理以及x₁x₂+y₁y₂=0，求出n，然后判断直线MN的方程为x=my+8，过定点（8，0）即可．

解答 解：（1）由题可得，E是以点（2，0）为焦点，以x=-2为准线的抛物线，
∴抛物线E的标准方程是：y²=8x；…（4分）
（2）设直线MN的方程为x=my+n，与x轴的交点为（n，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{x=my+n}\end{array}\right.$，可得y²=8my+8n，即y²-8my-8n=0；…（6分）
又由OM⊥ON得：x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{8}$=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{64}$，y₁y₂=-8n，
∴$\frac{64{n}^{2}}{64}-8n=0$解得n=8，n=0（舍去），…（10分）
∴直线MN的方程为x=my+8，过定点（8，0），
即得在x轴上存在定点满足条件，其坐标是（8，0）…（12分）

点评 本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．