Question

9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点．请建立适当的坐标系，求解下列问题：
（Ⅰ）求证：异面直线A₁D与BC互相垂直；
（Ⅱ）求二面角（钝角）D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）AB，AC，AA₁两两互相垂直，建立直角坐标系A-xyz，设AB=1，求出相关点的坐标，通过证明$\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{BC}$=0，即可证明异面直线A₁D与BC互相垂直．
（Ⅱ）求出平面DA₁C的法向量，平面ACC₁A₁的法向量利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：因为侧面ABB₁A₁C₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz…1分
设AB=1，则C（0，1，0），B（1，0，0），A₁（0，0，1），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1）．…3分
（Ⅰ）证明：由上可知：$\overrightarrow{{A_1}D}=（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0}）$，$\overrightarrow{BC}=（{-1，1，0}）$，…5分
所以$\overrightarrow{{A_1}D}•\overrightarrow{BC}=（{-1，1，0}）•（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0}）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=0$，…6分
所以$\overrightarrow{{A_1}D}⊥\overrightarrow{BC}$，
所以，异面直线A₁D与BC互相垂直．…7分
（Ⅱ）解：$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，1，-1），…9分
设平面DA₁C的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则有

$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）…10分
又因为AB⊥平面ACC₁A₁，所以平面ACC₁A₁的法向量为$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），…11分
∴cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}＞$=$|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB}|}|$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因为二面角D-A₁C-A是钝角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值为$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…12分．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与直线所成角的求法，考查空间向量的应用，转化思想的应用．