Question

4．已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中a＞0且a≠1，设h（x）=f（x）-g（x）
（1）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性并说明理由
（2）解不等式h（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）由已知可得h（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），进而可求函数的定义域，判断函数的奇偶性；
（2）由h（x）＞0得，log_a（1+x）＞log_a（1-x）；对底数进行分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中a＞0且a≠1，
∴h（x）=f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）
解$\left\{\begin{array}{l}1+x＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$得，-1＜x＜1
∴h（x）的定义域为（-1，1）；
∵h（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x）
∴h（x）为奇函数；
（2）由h（x）＞0得，log_a（1+x）＞log_a（1-x）；
①若a＞1，则：$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜1\\ 1+x＞1-x\end{array}\right.$
解得：0＜x＜1
②若0＜a＜1，则：$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜1\\ 1+x＜1-x\end{array}\right.$
解得：∴-1＜x＜0
∴a＞1时，使h（x）＞0的x的取值范围为（0，1），0＜a＜1时，x的取值范围为（-1，0）．

点评 本题考查的知识点是函数的定义域，函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．