Question

16．某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米．
（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为S₁，池壁面积为S₂，由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．
（Ⅱ）此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案

解答 解：（Ⅰ）设水池的底面积为S₁，池壁面积为S₂，
则有${S_1}=\frac{6400}{4}=1600$（平方米）．…2分
池底长方形宽为$\frac{1600}{x}$米，则S₂=8x+8×$\frac{1600}{x}$=8（x+$\frac{1600}{x}$）．…6分
（Ⅱ）设总造价为y，则
y=120×1 600+100×8（x+$\frac{1600}{x}$）≥192000+64000=256000．…9分
当且仅当x=$\frac{1600}{x}$，即x=40时取等号．…10分
所以x=40时，总造价最低为256000元．
答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．…12分．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，解题的关键是建立起符合条件的函数模型，故分析清楚问题的逻辑联系是解决问题的重点，此类问题的求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题．