Question

6．已知函数f（x）=e^|x|，函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ex，x≤4}\\{4{e}^{5-x}，x＞4}\end{array}\right.$对任意的x∈[1，m]（m＞1），都有f（x-2）≤g（x），则m的取值范围是（　　）

• A． （1，2+ln2]
• B． （1，$\frac{7}{2}$+ln2]
• C． [ln2，2）
• D． （2，$\frac{7}{2}$+ln2）

Answer 1

分析 在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象，数形结合可得满足条件的m的取值范围．

解答 解：∵f（x）=e^|x|，
∴f（x-2）=e^|x-2|，
在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象如下图所示：

由图可得：当x=1时，f（x-2）=g（x）=e，
当x=4时，f（x-2）=e²＜g（x）=4e，
当x＞4时，由f（x-2）=e^x-2≤g（x）=4e^5-x得：e^2x-7≤4，
解得：x≤ln2+$\frac{7}{2}$，
对任意的x∈[1，m]（m＞1），都有f（x-2）≤g（x），
则m∈（1，$\frac{7}{2}$+ln2]，
故选：B

点评 本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，数形结合思想，难度中档，在同一坐标系中画出两个函数的图象是解答的关键．