Question

2．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，给出以下命题：①H是△A₁BD的垂心；②AH垂直于平面CB₁D₁；③AH的延长线过点C₁；④直线AH和BB₁所成角的大小为45°，其中正确的命题个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先，判断三棱锥 A-BA₁D为正三棱锥，然后，得到△BA₁D为正三角形，得到H为A在平面A₁BD内的射影，然后，根据平面A₁BD⊥平面BC₁D，得到②正确，最后，结合线面角和对称性求解．

解答 解：∵AB=AA₁=AD，BA₁=BD=A₁D，
∴三棱锥 A-BA₁D为正三棱锥，
∴点H是△A₁BD的垂心，故①为真命题；
∵平面A₁BD与平面B₁CD₁平行，
∵AH⊥平面A₁BD，
∵平面A₁BD⊥平面BC₁D，
∴AH垂直平面CB₁D₁，故②为真命题；
根据正方体的对称性得到AH的延长线经过C₁，故③为真命题
∵AA₁∥BB₁，∴∠A₁AH就是直线AH和BB₁所成角，
在直角三角形AHA₁中，
∵AA₁=1，A₁H=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sin∠A₁AH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，故④为假命题；
故选：C．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正方体的几何特征，线面垂直，直线与平面的夹角等知识点，难度中档．