Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，棱长为2．下面结论中正确的结论是

 

．（把你认为正确的结论都填上，填序号）
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥平面CB₁D₁；
③过点A₁与异面直线AD和CB₁成90°角的直线有2条；
④三棱锥B-ACD₁的体积

4

3

．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：根据直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理可得判断①②的真假，根据异面直线所成的角可得③不正确，根据椎体的体积公式可得④正确，由此得到答案．

解答： 解：如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
①于BD∥B₁D₁，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB₁D₁，故①正确．
②由正方体的性质可得B₁D₁⊥A₁C₁，CC₁⊥B₁D₁，故B₁D₁⊥平面 ACC₁A₁，故 B₁D₁⊥AC₁．
同理可得 B₁C⊥AC₁．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC₁⊥平面CB₁D₁，故②正确．
③过点A₁与异面直线AD成90°角的直线必和BC也垂直
过点A₁与直线CB₁成90°角的直线必和CB₁垂直
则该直线必和平面B₁C₁CB垂直，满足条件的只有直线A₁B₁，故③不正确．
④由于三棱锥B-ACD₁的体积V=

1

3

•S△ABC•DD1=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

，故④正确．
故答案为 ①②④

点评：本题主要考查求二面角的大小的方法，异面直线的判定，直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，属于中档题．