Question

【题目】若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

解法一：设圆锥底面半径为，高为，根据∽可得，即，利用锥体的体积公式，然后利用基本不等式求最值；解法二：同解法一，利用导数求最值；解法三：设，可得，，即，设，利用二次函数配方即可求解.

解法一：如图，设圆锥底面半径为，高为.

由∽可得，即，

则，

所以，

因为，所以，当且仅当，即时取等号，

此时圆锥体积最小，最小值为.因为该球的体积为，

所以该圆锥体积与其内切球体积比为.

解法二： 如图，设圆锥底面半径为，高为.

由∽可得，即，

则，

所以令，

则，

当时，；

当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，所以，

即时，该圆锥体积最小， 最小值为.又其内切球体积为.

所以该圆锥体积与其内切球体积比为，

解法三：设，则，所以，

又，所以，

所以，令，

因为，当且仅当时取得最大值，

从而圆锥体积最小，最小值为.因为该球的体积为，

所以该圆锥体积与其内切球体积比为，

故选：D.