Question

18．过抛物线y²=x的焦点F的直线的斜率大于等于1，交抛物线于A、B．且A点在x轴上方．则|FA|的取值范围是（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），依题意可求得抛物线y²=x的焦点F（$\frac{1}{4}$，0）与准线方程x=-$\frac{1}{4}$，利用抛物线的定义，将|AF|转化为点A到其准线的距离，通过解方程组即可求得|FA|的最大值，从而可得|AF|的取值范围

解答 解：设A（x₁，y₁），依题意，抛物线y²=x的焦点F（$\frac{1}{4}$，0），准线方程为x=-$\frac{1}{4}$，
由抛物线的定义知，|FA|=x₁+$\frac{1}{4}$
当θ=180°时，x₁=0，|FA|=$\frac{1}{4}$，此时直线和抛物线只有一个交点，与题意不符；
当θ=45°时，|FA|最大，此时直线FA的方程为：y=x-$\frac{1}{4}$，
代入抛物线y²=x得x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{16}$=0，
解得x=$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$或x=$\frac{3}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍）．
∴|FA|_max=$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{4}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴|AF|的取值范围是（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故答案为：（$\frac{1}{4}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查方程思想与等价转化思想，考查运算能力，属于中档题．