Question

8．设函数f（x）=x²-3x+2，g（x）=2^x，设h（x）=f[g（x）]．
（1）求h（x）的解析式；
（2）求h（x）的减区间；
（3）求h（x）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）由条件可得 h（x）=f[g（x）]=[g（x）]²-3g（x）+2=[g（x）-1]•[g（x）-2]，化简可得结果．
（2）由条件求利用复合函数的单调性规律求得h（x）的减区间．
（3）令h（x）＜0，可得1＜2^x＜2，由此求得x的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-3x+2，g（x）=2^x，
∴h（x）=f[g（x）]=[g（x）]²-3g（x）+2=[g（x）-1]•[g（x）-2]=（2^x-1）•（2^x-2）．
（2）在（-∞，$\frac{3}{2}$）上，函数t=2^x是增函数，h（x）为减函数，故h（x）的减区间为（-∞，$\frac{3}{2}$）．
在[$\frac{3}{2}$，+∞）上，函数t=2^x是增函数，h（x）为增函数，故h（x）的增区间为[$\frac{3}{2}$，+∞）．
（3）令h（x）＜0，可得1＜2^x＜2，求得0＜x＜1，故h（x）＜0的解集为（0，1）．

点评 本题主要考查求复合函数的解析式，函数的单调性的应用，一元二次不等式、指数不等式的解法，属于中档题．