Question

3．用数学归纳法证明：$\frac{1}{\sqrt{1×2}}+\frac{1}{\sqrt{2×3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}}$$＜\sqrt{n}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 利用数学归纳法证明即可，注意在证明n=k+1时利用不等式$\frac{1}{\sqrt{（k+1）（k+2）}}$＜$\frac{1}{\sqrt{k（k+1）}}$放缩．

解答 证明：（1）当n=1时，左边=$\frac{1}{\sqrt{2}}$＜1=右边；
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，$\frac{1}{\sqrt{1×2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2×3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k（k+1）}}$$＜\sqrt{k}$成立．
则当n=k+1时，左边=$\frac{1}{\sqrt{1×2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2×3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k（k+1）}}$+$\frac{1}{\sqrt{（k+1）（k+2）}}$$＜\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{（k+1）（k+2）}}$＜$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k（k+1）}}$=$\sqrt{k}$+$（\sqrt{k+1}-\sqrt{k}）$=$\sqrt{k+1}$=右边．
∴当n=k+1时，不等式成立．
综上可得：?n∈N^*，$\frac{1}{\sqrt{1×2}}+\frac{1}{\sqrt{2×3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}}$$＜\sqrt{n}$成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明不等式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．