Question

14．如图，在?ABCD中，点E是AB的中点，点F在BD上，且BF=$\frac{1}{3}$BD，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{EF}$；
（2）求证：E，F，C三点共线．

Answer 1

分析 （1）由向量的加法法则得到$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，由此能用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{EF}$．
（2）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{FC}$，得到$\overrightarrow{FC}=2\overrightarrow{EF}$，由此能证明E，F，C三点共线．

解答 解：（1）∵在?ABCD中，点E是AB的中点，点F在BD上，且BF=$\frac{1}{3}$BD，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$．
（2）$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$）+$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$，
由（1）得$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{FC}=2\overrightarrow{EF}$，∴$\overrightarrow{FC}∥\overrightarrow{EF}$，
又∵$\overrightarrow{FC}$与$\overrightarrow{EF}$有公共点F，
∴E，F，C三点共线．

点评 本考查空间向量的加法法则的应用，考查三点共线的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．