Question

12．已知A={x|x=a+b$\sqrt{2}$，a，b∈N}．若集合C={x|x=x₁-x₂，x₁、x₂∈A}，当x=a+b$\sqrt{2}$∈C（a、b互质）时．必有$\frac{1}{x}$∈C，则a．b满足的关系式a²-2b²=1．

Answer 1

分析 先化简求出$\frac{1}{x}$的表达式，结合元素特点进行求解 即可．

解答 解：若x=a+b$\sqrt{2}$，则$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{a+b\sqrt{2}}$=$\frac{a-b\sqrt{2}}{{a}^{2}-2{b}^{2}}$=$\frac{a}{{a}^{2}-2{b}^{2}}$-$\frac{b}{{a}^{2}-2{b}^{2}}$$•\sqrt{2}$∈C，
即$\frac{a}{{a}^{2}-2{b}^{2}}$∈N，$\frac{b}{{a}^{2}-2{b}^{2}}$∈N，
∵a、b互质，
∴必有a²-2b²=1，
故答案为：a²-2b²=1

点评 本题主要考查元素和集合关系的应用，比较基础．