Question

18．已知关于x的方程x²-2x+k=0有两实数根x₁，x₂，设y=（x₁+x₂）（x₁²+x₂²-x₁x₂）²．
（1）求y与k之间的函数关系式．
（2）试问y是否有最大值或最小值？若有，请求出，若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数之间的关系即可求y与k之间的函数关系式．
（2）结合一元二次函数的最值性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²-2x+k=0有两实数根x₁，x₂，
∴判别式△=4-4k≥0，则k≤1，
且x₁+x₂=2，x₁x₂=k，
则y=（x₁+x₂）（x₁²+x₂²-x₁x₂）²=y=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]²
=2（4-3k）²，k≤1，
即y=2（3k-4）²，k≤1．
（2）∵y=2（3k-4）²=18（k-$\frac{4}{3}$）²，k≤1．
对称轴为k=$\frac{4}{3}$，
∴当k≤1时，函数单调递减，
即当k=1时，函数取得最小值y=2，无最大值．

点评 本题主要考查函数最值的求解和判断，结合一元二次函数根与系数之间的关系以及一元二次函数的最值性质是解决本题的关键．