Question

10．已知x∈[$\frac{π}{2}$，π]，且sin（2x-$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{3}$，则cos2x=-$\frac{1}{3}$，sinx=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，tanx=-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 已知等式利用诱导公式化简求出cos2x的值，根据二倍角的余弦函数公式求出sinx的值，进而求出cosx的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanx的值即可．

解答 解：∵x∈[$\frac{π}{2}$，π]，sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-cos2x=$\frac{1}{3}$，
∴2x-$\frac{π}{2}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，cos2x=-$\frac{1}{3}$，
∴cos2x=1-sin²x=$\frac{1}{3}$，即sin²x=$\frac{2}{3}$，
解得：sinx=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosx=-$\sqrt{1-si{n}^{2}x}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则tanx=-$\sqrt{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{3}$；$\frac{\sqrt{6}}{3}$；-$\sqrt{2}$

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系是解本题的关键．