Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，则不等式f（f（x））≤3的解集为（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，$\sqrt{2}$]
• C． （-∞，$\sqrt{3}$]
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 由复合函数和分段函数分类讨论可化不等式为几个不等式组，解不等式组可得．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$，
当x＞0时，f（x）=-x²＜0，∴f（f（x））=（-x²）²+2（-x²）=x⁴-2x²，
不等式f（f（x））≤3可化为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{x}^{4}-2{x}^{2}≤3}\end{array}\right.$，解得0＜x≤$\sqrt{3}$；
当x=0时，f（x）=0，∴f（f（x））=0，不等式f（f（x））≤3可化为0≤3，可得x=0；
当-2＜x＜0时，f（x）=x²+2x＜0，∴f（f（x））=（x²+2x）²+2（x²+2x），
不等式f（f（x））≤3可化为（x²+2x）²+2（x²+2x）≤3，结合-2＜x＜0可得-2＜x＜0；
当x≤-2时，f（x）=x²+2x≥0，∴f（f（x））=-（x²+2x）²，
不等式f（f（x））≤3可化为-（x²+2x）²≤3，结合x≤-2可得x≤-2；
综上可得不等式f（f（x））≤3解集为：（-∞，$\sqrt{3}$]
故选：C．

点评 本题考查分段函数和复合函数不等式，分类讨论是解决问题的关键，属中档题．