Question

13．已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，S_n为其前n项和，且满足${a}_{n}^{2}={S}_{2n-1}$，令b_n-a_n=3，数列{b_n}的前n项和为T_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}^{2}={S}_{2n-1}$，当n=1时，${a}_{1}^{2}$=a₁，a₁≠0，解得a₁=1．当n≥2时，利用等差数列的前n项和公式可得${a}_{n}^{2}={S}_{2n-1}$=$\frac{（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}$=（2n-1）a_n＞0，解得即可得出．
（2）b_n-a_n=3，可得b_n=a_n+3=2n+2．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）由${a}_{n}^{2}={S}_{2n-1}$，当n=1时，${a}_{1}^{2}$=a₁，a₁≠0，解得a₁=1．
当n≥2时，${a}_{n}^{2}={S}_{2n-1}$=$\frac{（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}$=（2n-1）a_n＞0，
解得a_n=2n-1．
∴a_n=2n-1．
（2）b_n-a_n=3，∴b_n=2n-1+3=2n+2．
∴数列{b_n}是等差数列，首项为4，公差为2．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n（4+2n+2）}{2}$=n²+3n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．