Question

13．已知tan（α+$\frac{π}{4}$）=2cos2α，求α的值．

Answer 1

分析 利用两角和的正切函数以及二倍角的余弦函数化简方程，然后求解角的值．

解答 解：tan（α+$\frac{π}{4}$）=2cos2α，
可得$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=2（cos²α-sin²α），
可得$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$=2（cos²α-sin²α），
（cosα+sinα）（1-2（cosα-sinα）²）=0．
可得cosα+sinα=0或1-2（cosα-sinα）²=0；
解得：tanα=-1或cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由tanα=-1，可得α=k$π-\frac{π}{4}$，k∈Z，
由cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}cos（α+\frac{π}{4}）=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即$cos（α+\frac{π}{4}）=±1$，解得α=kπ$-\frac{π}{4}$，k∈Z．
综上α的值为α=kπ$-\frac{π}{4}$，k∈Z．

点评 本题考查两角和的正切函数，二倍角公式的应用，考查化简求值．