Question

（本小题满分14分）已知函数 ，．
（1）当时，求曲线在点（3,）处的切线方程；
（2）当函数在上有唯一的零点时，求实数的取值范围．

Answer 1

解：(1)当a=0时，，
∴f(3)=1，   ∵f'(x)=x²-2x  ………3分 
曲线在点(3，1)处的切线的斜率k=f'(3)="3 " ………4分
∴所求的切线方程为y-1=3(x-3)，即y="3x-8 " ………6分
(2)∵f'(x)=x²-2(2a+1)x+3a(a+2)="(x-3a)(x-a-2) " ∴x₁=3a，x₂=a+2
①当x₁=x₂时，3a=a+2，解得a=1，这时x₁=x₂=3，函数y=f'(x)在(0，4)上
有唯一的零点，故a=1为所求；………7分
②当x₁>x₂时，即，这时x₁>x₂>3，
又函数y=f'(x)在(0，4)上有唯一的零点，
  ..........10分
③当x₁<x₂时，即a<1，这时x₁<x₂<3
又函数y=f'(x)在（0，4）上有唯一的零点，
∴ ………13分
综上得当函数在上有唯一的零点时，
或或. ………14分

略