Question

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F₁作倾斜角为θ的动直线l交椭圆于A，B两点．当θ=

π

4

时，

AF1

=(2-

3

)

F1B

，且|AB|=3．
（1）求椭圆的离心率及椭圆的标准方程；
（2）求△ABF₂面积的最大值，并求出使面积达到最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意设出l的为方程x=y-c，联立

x=y-c x2 a2 + y2 b2 =1

得：（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

2b2c

a2+b2

①，y1y2=

-b4

a2+b2

②，又由

AF1

=(2-

3

)

F1B

得

y1

y2

=-(2-

3

)③，由①②③⇒

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=

-4c2

a2+b2

=-2⇒2a²=3c²⇒e=

6

3

，结合|AB|=

2

|y1-y2|=

2

×

4b4c2+4b4(a2+b2)

a2+b2

=

4ab2

a2+b2

=a=3，可求得椭圆的方程；

（2）设直线l的方程为x=my-

6

，由

x=my- 6 x2 9 + y2 3 =1

，消去x得，(m2+3)y2-2

6

my-3=0，由韦达定理得：|y₁-y₂|=

6 m2+1

m2+3

，又S△ABF2=

1

2

×2c×|y₁-y₂|=

6

×

6 m2+1

m2+3

=

6 6

m2+1 + 2 m2+1

≤

6 6

2 2

=3

3

，（当且仅当

m2+1

=

2

m2+1

时取等号），从而可求得m，问题解决．

解答：解：（1）∵直线l的倾斜角θ=

π

4

，过点F₁（-c，0），故l的为方程为：x=y-c，
由

x=y-c x2 a2 + y2 b2 =1

，消去x得，（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

2b2c

a2+b2

①，y1y2=

-b4

a2+b2

②，
又由

AF1

=(2-

3

)

F1B

得

y1

y2

=-(2-

3

)③，
由①②③得

(y1+y2)2

y1y2

=

y1

y2

+

y2

y1

+2=

-4c2

a2+b2

=-2，
∴a²+b²=2c²=2（a²-b²），
∴a²=3b²=3（a²-c²），
∴2a²=3c²，
∴e=

6

3

；
又|AB|=

2

|y1-y2|=

2

×

4b4c2+4b4(a2+b2)

a2+b2

=

4ab2

a2+b2

=

4a•( 1 3 a2)

a2+ 1 3 a2

=a=3，
∴b²=3，
∴椭圆标准方程为

x2

9

+

y2

3

=1．
（2）设直线l的方程为x=my-

6

，由

x=my- 6 x2 9 + y2 3 =1

，消去x得，(m2+3)y2-2

6

my-3=0，
|y₁-y₂|=

24m2+12(m2+3)

m2+3

=

6 m2+1

m2+3

，
S△ABF2=

1

2

×2c×|y₁-y₂|=

6

×

6 m2+1

m2+3

=

6 6

m2+1 + 2 m2+1

≤

6 6

2 2

=3

3

，（当且仅当

m2+1

=

2

m2+1

，即m=±1时取“=”），
∴m=±1时，使△ABF₂面积达到最大值，此时直线l的方程为y=±(x+

6

)．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，难点在于（1）中①②③的联立求得

-4c2

a2+b2

=-2，着重考查方程思想，韦达定理的使用与弦长公式的应用，属于难题．