Question

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两个焦点，P为椭圆上一点且

PF1

•

PF2

=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A、[

  3

  3

  ，1)
• B、[

  1

  3

  ，

  1

  2

  ]
• C、[

  3

  3

  ，

  2

  2

  ]
• D、(0，

  2

  2

  ]

Answer 1

分析：设P（m，n ），由

PF1

•

PF2

=c2得到n²=2c²-m²  ①．把P（m，n ）代入椭圆得到 b²m²+a²n²=a²b²  ②，把①代入②得到 m² 的解析式，由m²≥0及m²≤a²求得

c

a

的范围．

解答：解：设P（m，n ），

PF1

•

PF2

=c2=（-c-m，-n）•（c-m，-n）=m²-c²+n²，
∴m²+n²=2c²，n²=2c²-m²  ①．
把P（m，n ）代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1得  b²m²+a²n²=a²b²  ②，
把①代入②得 m²=

a2b2-2a2c2

b2-a2

≥0，∴a²b²≤2a²c²，
 b²≤2c²，a²-c²≤2c²，∴

c

a

≥

3

3

．
又  m²≤a²，∴

a2b2-2a2c2

b2-a2

≤a²，∴

a2(a2-2c2)

b2-a2

≤0，
a²-2c²≥0，∴

c

a

≤

2

2

．
综上，

3

3

≤

c

a

≤

2

2

，
故选 C．

点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用．