Question

15．已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k是关于x的方程x²-（4k+2^k）x+k2^k+2=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（1）求a₃，a₈，a₉的值，并直接写出a_2k-1与a_2k（k≥5），不需证明；
（2）设b_k=a_2k-1•a_2k（k=1，2，3，…），求数列{b_k}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，求得方程的两个解，由数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k，代入即可求得a₃，a₈，a₉的值及a_2k-1=4k，a_2k=2^k；
（2）由（1）可知：b_k=a_2k-1•a_2k=4k•2^k=k•2^k+2，利用“错位相减法”即可求得数列{b_k}的前n项和T_n．

解答 解：（1）方程x²-（4k+2^k）x+k2^k+2=0的两个根分别为，x₁=4k，x₂=2^k，
∴a₃=4，a₈=16，a₉=20，
当k≥5时，4k＜2^k，
∴a_2k-1=4k，a_2k=2^k，
（2）由条件知：b_k=a_2k-1•a_2k=4k•2^k=k•2^k+2，
∴数列{b_k}的前n项和T_n，
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=1×2³+2×2⁴+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴2T_n=1×2⁴+2×2⁵+3×2⁶+…+n×2ⁿ⁺³，
两式相减得：-T_n=2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²，-n×2ⁿ⁺³，
=（1-n）2ⁿ⁺³-8，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+8．

点评 本题考查数列与方程的应用，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．