Question

【题目】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点M为A1C1的中点，点N为AB1上一动点.若点N为AB1的中点且CM⊥MN，求二面角MCNA的正弦值.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立如图2所示的空间直角坐标系，设AA1＝a，求出，由CM⊥MN，求出，分别求出平面ANC和平面MNC的法向量坐标，按照空间向量面面角公式，即可求解

以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，

AA1所在直线为z轴建立如图2所示的空间直角坐标系

设AA1＝a， 则A（0，0，0），C（0，2，0），

，

，

故，

.

设＝（x，y，z）为平面ANC的法向量，

则，

令x＝－1，得平面ANC的一个法向量为＝（－1，0，），

同理可得平面MNC的一个法向量为n＝（3，2，）.

则.

故二面角MCNA的正弦值为.