【题目】已知非空集合是由一些函数组成,满足如下性质:①对任意
,
均存在反函数
,且
;②对任意
,方程
均有解;③对任意
、
,若函数
为定义在
上的一次函数,则
.
(1)若,
,均在集合
中,求证:函数
;
(2)若函数(
)在集合
中,求实数
的取值范围;
(3)若集合中的函数均为定义在
上的一次函数,求证:存在一个实数
,使得对一切
,均有
.
【答案】(1)见详解;(2);(3)见详解;
【解析】
(1)由,根据性质①可得
,且存在
,使得
,由
,且为一次函数,根据性质③即可证明.
(2)由性质②,方程,即
在
上有解,可得
,
变形,
.对
与
的关系分类讨论,利用基本不等式的性质即可求解.
(3)任取,
,由性质①
,不妨设
,
(若,则
,
),
由性质③函数,
由性质①:,
由性质③:
由性质②方程:,可得
,即
,即可得证.
(1)由,根据性质①可得
,且存在
,使得
,由
,且为一次函数,
根据性质③可得:.
(2)由性质②,方程,即
在
上有解,
,
由,
若,
时,
,且
,
此时
没有反函数,即不满足性质①.
若,
时,函数
在
上单调递增,
此时
有反函数,
即满足性质①.
综上:.
(3)任取,
,由性质①
,不妨设
,
(若,则
,
),
由性质③函数,
由性质①:,
由性质③:
由性质②方程:,
,即
,
,可得
,
,
,可得
,
,
由此可知:对于任意两个函数,
,
存在相同的满足:
,
存在一个实数
,使得对一切
,均有
.
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【题目】如图,设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且
0,若过 A,Q,F2三点的圆恰好与直线
相切,过定点 M(0,2)的直线
与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线
的斜率
,在x轴上是否存在点P(
,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出
的取值范围;如果不存在,请说明理由;(Ⅲ)若实数
满足
,求
的取值范围.
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【题目】某气象站统计了4月份甲、乙两地的天气温度(单位),统计数据的茎叶图如图所示,
(1)根据所给茎叶图利用平均值和方差的知识分析甲,乙两地气温的稳定性;
(2)气象主管部门要从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度,若甲、乙两地的温度之和大于或等于,则被称为“甲、乙两地往来温度适宜天气”,求“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率.
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【题目】如图,我海监船在岛海域例行维权巡航,某时刻航行至
处,此时测得其北偏东
方向与它相距
海里的
处有一外国船只,且
岛位于海监船正东
海里处.
(1)求此时该外国船只与岛的距离;
(2)观测中发现,此外国船只正以每小时海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离
岛
海里的
处(
在
的正南方向),不让其进入
岛
海里内的海域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值(角度精确到
,速度精确到
海里/小时).
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【题目】已知函数,其中
.
(1)若是定义在
上的单调函数,求实数a的取值范围;
(2)当时,判断
与
的图象在其公共点处是否存在公切线?若存在,求满足条件的a值的个数;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知四边形为正方形,
平面
,四边形
与四边形
也都为正方形,连接
,点
为
的中点,有下述四个结论:
①; ②
与
所成角为
;
③平面
; ④
与平面
所成角为
.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④
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【题目】西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动,其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课:七巧板、健美操、剪纸.203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动,每位同学只能挑选一门课外活动课,已知每门课都有人选,则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为( )
A.18B.36C.72D.144
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