【题目】已知函数,其中
.
(1)若是定义在
上的单调函数,求实数a的取值范围;
(2)当时,判断
与
的图象在其公共点处是否存在公切线?若存在,求满足条件的a值的个数;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)或
;(2)存在,理由见解析.
【解析】
(1)对函数求导,根据实数a的不同取值进行分类讨论,最后可以根据函数的单调区间求出实数a的取值范围;
(2))假设,
的图象在其公共点
处存在公切线,对两个函数分别求导,根据点在函数图象上,和切线的斜率列出方程组,化简得到关于a的方程,构造新函数,根据新函数的零点情况进而可以判断出方程的根的情况,最后可以判断出是否存在公切线.
(1).
当时,
,故
在
上单调递减,满足题意;
当时,要使得
在
上单调,则恒有
.
∴,解得:
.
综上,或
(2)假设,
的图象在其公共点
处存在公切线,
则
由①可得:
∴.
将代入②,则
,即:
.
令,则
,故
在
上单调递减,在
上单调递增.
又,且当
,
;当
,
∴在
有两个零点,即方程
在
有两个不同的解.
所以,与
的图象在其公共点处存在公切线,满足条件的a值有2个
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知为等边三角形,
为等腰直角三角形,
.平面
平面ABD,点E与点D在平面ABC的同侧,且
,
.点F为AD中点,连接EF.
(1)求证:平面ABC;
(2)求证:平面平面ABD.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出,1952年~2018年,我国GDP查679.1亿元跃升至90.03万亿元,实际增长174倍;人均GDP从119元提高到6.46万元,实际增长70倍.全国各族人民,砥砺奋进,顽强拼搏,实现了经济社会的跨越式发展.如图是全国2010年至2018年GDP总量(万亿元)的折线图.
注:年份代码1~9分别对应年份2010~2018.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与年份代码
的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立关于
的回归方程(系数精确到0.01),预测2019年全国GDP的总量.
附注:参考数据:,
,
,
.
参考公式:相关系数;
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
,
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】国家大力提倡科技创新,某工厂为提升甲产品的市场竞争力,对生产技术进行创新改造,使甲产品的生产节能降耗.以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量(吨)与相应的生产能耗
(吨)的几组对照数据.
| ||||
|
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(,
)
(2)已知该厂技术改造前生产吨甲产品的生产能耗为
吨,试根据(1)求出的线性回归方程,预测节能降耗后生产
吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】椭圆C:过点M(2,0),且右焦点为F(1,0),过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点.设点P(4,3),记PA、PB的斜率分别为k1和k2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果直线l的斜率等于-1,求出k1k2的值;
(3)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出k1+k2的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知非空集合是由一些函数组成,满足如下性质:①对任意
,
均存在反函数
,且
;②对任意
,方程
均有解;③对任意
、
,若函数
为定义在
上的一次函数,则
.
(1)若,
,均在集合
中,求证:函数
;
(2)若函数(
)在集合
中,求实数
的取值范围;
(3)若集合中的函数均为定义在
上的一次函数,求证:存在一个实数
,使得对一切
,均有
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】正数数列、
满足:
≥
,且对一切k≥2,k
,
是
与
的等差中项,
是
与
的等比中项.
(1)若,
,求
,
的值;
(2)求证:是等差数列的充要条件是
为常数数列;
(3)记,当n≥2(n
)时,指出
与
的大小关系并说明理由.
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