【题目】椭圆C:过点M(2,0),且右焦点为F(1,0),过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点.设点P(4,3),记PA、PB的斜率分别为k1和k2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如果直线l的斜率等于-1,求出k1k2的值;
(3)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出k1+k2的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1)利用已知条件求出b,即可求解椭圆方程.
(2)直线l:y=-x+1,设AB坐标,联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可.
(3)当直线AB的斜率不存在时,不妨设A,B,求出斜率,即可;当直线AB的斜率存在时,设其为k,求直线AB:y=k(x-1),联立直线与椭圆的方程组,利用韦达定理以及斜率
公式化简求解即可.
解:(1)∵a=2,又c=1,∴,∴椭圆方程为
(2)直线l:y=-x+1,设A(x1,y1)B(x2,y2),
由消y得7x2-8x-8=0,有
,
.
(3)当直线AB的斜率不存在时,不妨设A(1,),B(1,-
),
则,
,故k1+k2=2.
当直线AB的斜率存在时,设其为k,则直线AB:y=k(x-1),设A(x1,y1)B(x2,y2),
由消y得(4k2+3)x2-8k2x+(4k2-12)=0,
有,
.
=
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【题目】如图,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,给出以下四个命题:①AC∥平面A′DF;②平面A′GF⊥平面BCED;③动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;④异面直线A′E与BD不可能垂直.其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入种黄瓜的年收入
与投入
(单位:万元)满足
.设甲大棚的投入为
(单位:万元),每年两个大棚的总收益为
(单位:万元)
(1)求的值;
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益最大?
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【题目】若函数y=f(x)在区间D上是增函数,且函数y=在区间D上是减函数,则称函数f(x)是区间D上的“H函数”.对于命题:
①函数f(x)=-x+是区间(0,1)上的“H函数”;
②函数g(x)=是区间(0,1)上的“H函数”.下列判断正确的是( )
A. 和
均为真命题 B.
为真命题,
为假命题
C. 为假命题,
为真命题 D.
和
均为假命题
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【题目】已知数列{an},{bn}满足2Sn=(an+2)bn,其中Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若数列{an}是首项为,公比为-
的等比数列,求数列{bn}的通项公式;
(2)若bn=n,a2=3,求证:数列{an}满足an+an+2=2an+1,并写出数列{an}的通项公式.
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【题目】已知非零向量,
满足(2
-
)⊥
,集合A={x|x2+(|
|+|
|)x+|
||
|=0}中有且仅有唯一一个元素.
(1)求向量,
的夹角θ;
(2)若关于t的不等式|-t
|<|
-m
|的解集为空集,求实数m的值.
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【题目】某公司2016年前三个月的利润(单位:百万元)如下:
月份 | 1 | 2 | 3 |
利润 | 2 | 3.9 | 5.5 |
(1)求利润关于月份
的线性回归方程;
(2)试用(1)中求得的回归方程预测4月和5月的利润;
(3)试用(1)中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万?
相关公式:.
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