【题目】设函数.
(1)讨论在
上的单调性;
(2)证明:在
上有三个零点.
【答案】(1)的单调递减区间为
,
;单调递增区间为
,
.(2)证明见解析
【解析】
(1)利用导数的正负可求函数的单调区间.
(2)结合函数的单调性和零点存在定理可证明在
上有3个零点,再构建新函数可证明
在
上没有零点.
(1),
由及
,得
或
或
.
当变化时,
和
的变化情况如下表:
0 | |||||||
- | 0 | + | 0 | - | 0 | + | |
↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以的单调递减区间为
,
;
的单调递增区间为
,
.
(2)当时,由(1)得,
的极小值分别为
,
;
极大值.又
,
所以在
上仅有一个零点0;
在,
上各有一个零点.
当时,
,
令,则
,
显然时,
单调递增,
;
当时,
,
从而时,
,
单调递减,
因此,即
,
所以在
上没有零点.
当时,
,
令,则
,
显然时,
,
;
当时,
,
从而时,
,
单调递增,
因此,即
,
所以在
上没有零点.
故在
上仅有三个零点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】国家大力提倡科技创新,某工厂为提升甲产品的市场竞争力,对生产技术进行创新改造,使甲产品的生产节能降耗.以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量(吨)与相应的生产能耗
(吨)的几组对照数据.
| ||||
|
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(,
)
(2)已知该厂技术改造前生产吨甲产品的生产能耗为
吨,试根据(1)求出的线性回归方程,预测节能降耗后生产
吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨?
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【题目】已知非空集合是由一些函数组成,满足如下性质:①对任意
,
均存在反函数
,且
;②对任意
,方程
均有解;③对任意
、
,若函数
为定义在
上的一次函数,则
.
(1)若,
,均在集合
中,求证:函数
;
(2)若函数(
)在集合
中,求实数
的取值范围;
(3)若集合中的函数均为定义在
上的一次函数,求证:存在一个实数
,使得对一切
,均有
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】 已知抛物线的顶点为坐标原点
,焦点
在
轴的正半轴上,过点
的直线
与抛物线相交于
,
两点,且满足
(1)求抛物线的方程;
(2)若是抛物线
上的动点,点
在
轴上,圆
内切于
,求
面积的最小值.
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【题目】正数数列、
满足:
≥
,且对一切k≥2,k
,
是
与
的等差中项,
是
与
的等比中项.
(1)若,
,求
,
的值;
(2)求证:是等差数列的充要条件是
为常数数列;
(3)记,当n≥2(n
)时,指出
与
的大小关系并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,给出下列四个命题:
①若m⊥α,n⊥α,则m∥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,m∥β,则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】已知函数(其中
为自然对数的底数).
(1)求的单调性;
(2)若,对于任意
,是否存在与
有关的正常数
,使得
成立?如果存在,求出一个符合条件的
;否则说明理由.
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