【题目】已知函数(其中
为自然对数的底数).
(1)求的单调性;
(2)若,对于任意
,是否存在与
有关的正常数
,使得
成立?如果存在,求出一个符合条件的
;否则说明理由.
【答案】(1)当时,
在
上的单调递增;当
时,
在
上单调递减,
在
上单调递增;(2)存在与
有关的正常数
【解析】
(1)求导可得,分别讨论
,
,
时的情况,进而判断单调性即可;
(2)存在与有关的正常数
使得
,即
,则
,设
,满足
即可,利用导数可得
,再设
,利用导函数判断函数性质即可求解
(1),
①当时,
恒成立,所以
在
上的单调递增;
②当时,
,
,所以
在
上的单调递增;
③当时,令
,得
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
综上所述:当时,
在
上的单调递增;
当时,
在
上单调递减,
在
上单调递增
(2)存在,
当时,
,
设存在与有关的正常数
使得
,即
,
需求一个,使
成立,只要求出
的最小值,满足
,
∵,∴
在
上单调递减,在
上单调递增,
∴,
只需证明在
内成立即可,
令,
,
∴在
单调递增,
∴,
所以,故存在与
有关的正常数
使
成立
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】把方程表示的曲线作为函数
的图象,则下列结论正确的有( )
A.的图象不经过第一象限
B.在
上单调递增
C.的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为
D.函数不存在零点
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】市场上有一种新型的强力洗衣粉,特点是去污速度快,已知每投放(
且
)个单位的洗衣粉液在一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度
(克/升)随着时间
(分钟)变化的函数关系式近似为
,其中
,若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和,根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时,它才能起有效去污的作用.
(1)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可能达几分钟?
(2)若先投放2个单位的洗衣液,6分钟后投放个单位的洗衣液,要使接下来的4分钟中能够持续有效去污,试求
的最小值(精确到0.1,参考数据:
取
).
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