【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线在y轴上的截距为
.
(1)求a;
(2)讨论函数和
的单调性;
(3)设,求证:
.
【答案】(1) (2)
为减函数,
为增函数. (3)证明见解析
【解析】
(1)求出导函数,求出切线方程,令
得切线的纵截距,可得
(必须利用函数的单调性求解);
(2)求函数的导数,由导数的正负确定单调性;
(3)不等式变形为
,由
递减,得
(
),即
,即
,依次放缩,
.
不等式,
递增得
(
),
,
,
,先证
,然后同样放缩得出结论.
解:(1)对求导,得
.
因此.又因为
,
所以曲线在点
处的切线方程为
,
即.
由题意,.
显然,适合上式.
令,
求导得,
因此为增函数:故
是唯一解.
(2)由(1)可知,,
因为,
所以为减函数.
因为,
所以为增函数.
(3)证明:由,易得
.
由(2)可知,在
上为减函数.
因此,当时,
,即
.
令,得
,即
.
因此,当时,
.
所以成立.
下面证明:.
由(2)可知,在
上为增函数.
因此,当时,
,
即.
因此,
即.
令,得
,
即.
当时,
.
因为,
所以,所以
.
所以,当时,
.
所以,当时,
成立.
综上所述,当时,
成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】正数数列、
满足:
≥
,且对一切k≥2,k
,
是
与
的等差中项,
是
与
的等比中项.
(1)若,
,求
,
的值;
(2)求证:是等差数列的充要条件是
为常数数列;
(3)记,当n≥2(n
)时,指出
与
的大小关系并说明理由.
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【题目】已知函数(其中
为自然对数的底数).
(1)求的单调性;
(2)若,对于任意
,是否存在与
有关的正常数
,使得
成立?如果存在,求出一个符合条件的
;否则说明理由.
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【题目】谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家,他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书,题材广泛、妙趣横生,深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》:文章首先告诉我们,古埃及人喜欢使用分子为1的分数(称为埃及分数).如用两个埃及分数与
的和表示
等.从
这100个埃及分数中挑出不同的3个,使得它们的和为1,这三个分数是________.(按照从大到小的顺序排列)
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【题目】已知定义在实数集
上的函数,把方程
称为函数
的特征方程,特征方程的两个实根
,
称为
的特征根.
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)求表达式;
(3)把函数,
的最大值记作
、最小值记作
,令
,若
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】设数列的通项公式为
(
,
),数列
定义如下:对于正整数
,
是使得不等式
成立的所有
中的最小值.
(1)若,
,求
;
(2)若,
,求数列
的前
项和公式;
(3)是否存在和
,使得
?如果存在,求
和
的取值范围;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,过点
的直线与椭圆
交于
两点,延长
交椭圆
于点
,
的周长为8.
(1)求的离心率及方程;
(2)试问:是否存在定点,使得
为定值?若存在,求
;若不存在,请说明理由.
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