【题目】已知函数,
,
.
(1)求的最大值;
(2)若对,总存在
,使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)利用导数分析函数的单调性,进而可求得函数
的最大值;
(2)由题意可知,对函数
求导,对实数
的取值进行分类讨论,利用导数分析函数
在区间
上的单调性,结合
可得出关于实数
的不等式,进而可求得实数
的取值范围.
(1)函数的定义域为
,
,
当时,
;当
时,
.
所以,函数的单调递增区间为
,单调递减区间为
,
所以,函数在
处取得极大值,亦即最大值,即
;
(2)由题意可知,即
.
,则
,所以,函数
在区间
上单调递增,
当时,
,即
.
①当时,即当
时,
对任意的
恒成立,
此时,函数在区间
上单调递增,则
,
,解得
,此时
;
②当时,即当
时,
对任意的
恒成立,
此时,函数在区间
上单调递减,则
,
,解得
,此时
;
③当时,即当
时,则存在
,使得
,
且当时,
;当
时,
.
所以,函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
,
,
.
当时,
,解得
;
当时,
,解得
,此时
.
综上所述,实数的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业有甲、乙两个研发小组,他们研究新产品成功的概率分别为和
,现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求恰好有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获得利润120万元,不成功则会亏损50万元;若新产品B研发成功,企业可获得利润100万元,不成功则会亏损40万元,求该企业获利ξ万元的分布列和期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为分,分值高者为优),则下面叙述正确的是( )
(注:雷达图(Radar Chart),又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart),可用于对研究对象的多维分析)
A.甲的数据分析素养高于乙
B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C.乙的六大素养中逻辑推理最差
D.乙的六大素养整体水平优于甲
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况,随机抽取了100人,统计结果整理如下:
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)现随机抽取1名顾客,试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率;
(Ⅱ)从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中,随机抽取3人进一步了解情况,用
表示这3人中年龄在
的人数,求随机变量
的分布列及数学期望;
(Ⅲ)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过
和不超过
的工人数填入下面的列联表:
超过 | 不超过 | |
第一种生产方式 | ||
第二种生产方式 |
(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:,
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