Question

【题目】若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）﹣f（x）=4x+1，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（2x），求g（x）在[﹣3，0]的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（0）=3，得c=3，

∴f（x）=ax2+bx+3．

又f（x+1）﹣f（x）=4x+1，

∴a（x+1）2+b（x+1）+3﹣（ax2+bx+3）=4x+1，

即2ax+a+b=4x+1，

∴ ∴

∴f（x）=2x2﹣x+3

（2）解：g（x）=f（2x）=222x﹣2x+3，

令2x=t， ，

∴h（t）=2t2﹣t+3，

时，g（x）max=h（t）max=h（1）=2﹣1+3=4，

g（x）min=h（t）min=h（ ）= ﹣ +3=

【解析】（1）根据待定系数法即可求出函数的解析式，（2）利用换元法和函数的性质即可求出最值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．