【题目】已知函数(,)和函数(,,).问:(1)证明:在上是增函数;
(2)把函数和写成分段函数的形式,并画出它们的图象,总结出的图象是如何由的图象得到的.请利用上面你的结论说明:的图象关于对称;
(3)当,,时,若对于任意的恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2)理由见解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)利用单调区间定义法,计算,所以函数为增函数;(2)根据绝对值的意义,有.的图象是由的图象向右平移个单位得到的,因此,函数图象,是由向右平移个单位得到,故图像关于对称;(3)当,,时,若等价于对于任意的恒成立,根据去绝对值,分类讨论的取值范围.
试题解析:
(1)在内任取两个实数,,且,则,
,
因为,,所以,又有,所以,
所以在是增函数.
(2)
的图象是由的图象向右平移1个单位得到的,
先考虑函数(,),
在的定义域内任取一个实数,则也在其定义域内,
因为,所以函数是偶函数,
即其图象的对称轴为,
由上述结论,的图象是由的图象向右平移个单位得到,
所以的图象关于对称.
(3)由题意可知对于任意的恒成立.
当时,不等式化为,
即对于任意恒成立,
当时,即,不等式化为,满足题意;
当时,由题意进而对称轴,
所以,解得;
结合以上两种情况.
当时,不等式,
即对于任意恒成立,
由题意进而对称轴,
所以,即,解得,
所以.
综上所述,的取值范围为.
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【题目】如图,在直三棱柱中,,,分别为棱的中点.
(1)求二面角的平面角的余弦值;
(2)在线段上是否存在一点,使得平面?若存在,确定点的位置并证明结论;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数,
(1)当时,证明:函数不是奇函数;
(2)判断函数的单调性,并利用函数单调性的定义给出证明;
(3)若是奇函数,且在时恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】面对某种流感病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有A、B、C三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为.求:
(1)他们能研制出疫苗的概率;
(2)至多有一个机构研制出疫苗的概率.
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【题目】若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=2x2-3,值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )
A.10个
B.9个
C.8个
D.4个
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【题目】设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹恒有两个交点,且为坐标原点),并求该圆的方程.
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【题目】已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆方程;
(2)设不过原点的直线,与该椭圆交于两点,直线的斜率依次为,满足,试问:当变化时,是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是请说明理由.
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【题目】某小区提倡低碳生活,环保出行,在小区提供自行车出租.该小区有40辆自行车供小区住户租赁使用,管理这些自行车的费用是每日92元,根据经验,若每辆自行车的日租金不超过5元,则自行车可以全部出租,若超过5元,则每超过1元,租不出的自行车就增加2辆,为了便于结算,每辆自行车的日租金元只取整数,用元表示出租自行车的日纯收入(日纯收入=一日出租自行车的总收入-管理费用)
(1)求函数的解析式及其定义域;
(2)当租金定为多少时,才能使一天的纯收入最大?
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