Question

18．设a＞b＞0，a+b=1，若x=（$\frac{1}{a}$）^b，y=log${\;}_{（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）}$ab，z=log${\;}_{\frac{1}{b}}$a，则x，y，z的大小关系是（　　）

• A． y＜x＜z
• B． y＜z＜x
• C． x＜y＜z
• D． z＜y＜x

Answer 1

分析 a＞b＞0，a+b=1，可得1＞a＞$\frac{1}{2}＞$b＞0，因此1＜$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，$0＜ab＜\frac{1}{4}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$＞4．再利用对数函数的单调性即可得出．

解答 解：∵a＞b＞0，a+b=1，∴1＞a＞$\frac{1}{2}＞$b＞0，
∴1＜$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，$0＜ab＜\frac{1}{4}$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=2+$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$＞4．
x=（$\frac{1}{a}$）^b＞1，y=log${\;}_{（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）}$ab＜-1，z=log${\;}_{\frac{1}{b}}$a=-log_ba∈（-1，0），
∴x＞z＞y．
故选：B．

点评 本题考查了对数函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．