Question

3．已知等比数列{a_n}的公比q，前n项的和S_n，对任意的n∈N^*，S_n＞0恒成立，则公比q的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 q≠1时，由S_n＞0，知a₁＞0，从而$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$＞0恒成立，由此利用分类讨论思想能求出公比q的取值范围．

解答 解：q≠1时，有S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∵S_n＞0，∴a₁＞0，
则$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$＞0恒成立，
①当q＞1时，1-qⁿ＜0恒成立，即qⁿ＞1恒成立，由q＞1，知qⁿ＞1成立；
②当q=1时，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立；
③当q＜1时，需1-qⁿ＞0恒成立，
当0＜q＜1时，1-qⁿ＞0恒成立，
当-1＜q＜0时，1-qⁿ＞0也恒成立，
当q＜-1时，当n为偶数时，1-qⁿ＞0不成立，
当q=-1时，1-qⁿ＞0也不可能恒成立，
所以q的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．
故答案为：（-1，0）∪（0，+∞）．

点评 本题考查等比数列的公比的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．