Question

12．已知动点P（x，y）满足：$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤4}\\{x≥0}\\{（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）（\sqrt{{y}^{2}+1}+y）≥1}\end{array}\right.$，则x²+y²-6x的最小值为$-\frac{40}{9}$．

Answer 1

分析 不等式组中的第三个不等式可化为x≤y，作出该不等式组表示的平面区域，x²+y²-6x的几何意义求最小值．

解答 解：由$（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）（\sqrt{{y}^{2}+1}+y）≥1$，
∵y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$＞y+|y|≥0，
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}-x≥\frac{1}{\sqrt{{y}^{2}+1}+y}=\sqrt{{y}^{2}+1}-y$，
∵函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}-x=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$是减函数，
∴x≤y，
∴原不等式组化为$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤4}\\{x≥0}\\{x≤y}\end{array}\right.$．
该不等式组表示的平面区域如下图：
∵x²+y²-6x=（x-3）²+y²-9．
由点到直线的距离公式可得，P（3，0）区域中A（$\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$）的距离最小，所以x²+y²-6x的最小值为$-\frac{40}{9}$．
故答案为：-$\frac{40}{9}$．

点评 考查不等式组表示的平面区域的概念，能够画出不等式组所表示的平面区域，能判断函数的单调性，圆的标准方程，利用线性规划的知识求最值的方法，数形结合解题的方法．